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圆与圆的位置关系知识点总结,高中数学圆与圆的位置关系知识点总结

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      高中数学圆与圆的位置关系知识点总结(一)

  [学习目标]

  1.掌握圆与圆的五种位置关系,类比于点与圆,直线与圆的位置关系,能通过两圆半径r1,r2及圆心距d三者的数量关系,判断两圆位置关系,或通过位置关系,判断数量关系。

  2.在数轴上表示当d在不同位置时,两圆的位置关系。

  

  3.在证明两圆的或多圆的图形时,常加的辅助线:公共弦、公切线;圆心距,连心线。

  4.当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦。

  当两圆内切时,连心线垂直于公切线。

  当两圆外切时,连心线垂直于内公切线。

  5.公切线是指两个圆公共的切线,如果两圆在公切线同旁则称外公切线,如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。

  6.如图内公切线长

  

  (外离时)

  外公切线长

  

  (外离、外切、相交时)

  d圆心距 R大圆半径 r小圆半径 R≥r

  

  

  

  

  7.公切线条数

  ①内含

  

  0条

  ②内切

  

  1条

  ③相交

  

  2条

  ④外切

  

  3条

  ⑤外离

  

  4条

  8.圆的全章复习

  (1)圆的基础知识

  ①圆的有关概念:

  弦,弧,半圆,弓形,弓形高,等弧(隐含同圆等圆),弦心距,直径等。

  ②圆的确定

  圆心决定位置,半径决定大小,不共线的三点确定一个圆。

  注意:作图(两边中垂线找交点),外心的位置,外心到三角形各顶点距离等

  

  ③圆的对称性:轴对称,中心对称,旋转不变性

  (2)圆与其它图形

  <1>点与圆三种

  <2>直线与圆

  ①一条直线与圆三种

  ②两条直线与圆

  

  ③三条直线与圆

  三角形内切圆与圆外切三角形

  三角形内心(角平分线交点)位置永远在三角形内部

  到三角形各边距离相等

  ④四条直线与圆

  

  圆外切四边形两组对边的和相等

  

  <3>两圆与直线

  两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。

  两圆内切时连心线过切点,垂直于过切点的切线。

  两圆相交时,连心线垂直于公共弦,并且平分公共弦。

  (3)定理

  <1>垂径定理及推论:过圆心;垂直弦;平分弦(非直径);平分优弧;平分劣弧;知2求3。

  <2>圆心角,弦,弦心距,弧之间关系:同圆等圆中知1得3。

  <3>与圆有关的角:圆心角,圆周角,弦切角,圆内角,圆外角,圆内接四边形外角,内对角,对角

  <4>切线的判定、性质:

  ①判定:常见的证法连半径,证垂直,判断切线,

  “连垂切”

  或作垂直证d=r

  ②性质:若一条直线满足过圆心、过切点,垂直于切线中任意两条,可得另外一条。

  常见“切连垂”

  <5>和圆有关的比例线段:

  相交弦定理及推论,切割线定理及推论,圆幂定理

  (4)和圆有关的计算

  <1>求线段

  ①直径、半径

  ②垂径定理:求弦长、弦心距、拱高

  ③切线长、公切线长(外公切线长,内公切线长)

  ④直角三角形内切圆半径

  ⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系

  ⑥等边三角形内切圆半径:外接圆半径=1:2

  ⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等

  <2>求角

  圆心角,圆周角,弦切角,两切线夹角,公切线夹角

  (5)常见辅助线

  半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线

  (6)圆中常见图形

  直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形

  

    ​​​​​​​

     高中数学圆与圆的位置关系知识点总结(二)

  【典型例题】

  例1.已知半径分别为R和r(R>r)的两圆外切,它们的两条外公切线互相垂直,则R:r等于()

  A.

  

  B.

  

  C.

  

  D.

  

  解:连结O1A、O2B、O1O2(如图所示),则O1A⊥AB,O2B⊥AB,O1O2过点P且平分∠APC,过点O2作O2E⊥O1A,则O2E∥AB

  

  ∴∠O1O2E=∠O1PA=45°,

  ∴△O1O2E是等腰直角三角形。

  ∴

  

  ,

  ∵

  

  ,

  ∴

  

  ∴

  

  ,

  ∴

  

  ,故选C。

       点拨:本题涉及的知识点较多,要认真审题,理清思路,解决问题。

  例2.如图所示,⊙O1与⊙O2内切于点A,并且⊙O1的半径是⊙O2的直径,O1B为⊙O1的半径,交⊙O2于点C,AD是公切线,∠O1AC=50°,则∠BAD=()

  

  A. 50° B. 40° C. 25° D. 20°

  解:∵O1A是⊙O2的直径,

  ∴∠ACO1=90°

  又∵∠O1AC=50°

  ∴∠O1=40°

  又∵DA是两圆的公切线,∠DAB和∠DAC分别是⊙O1、⊙O2的弦切角,

  ∴

  

  故选D。

  点拨:利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键,要学以致用,温故而知新。

  例3.已知两圆的半径分别为8和6,如果两圆的圆心距为14,则两圆的公切线条数有____________。

  解:由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和,则两圆外切,共有3条公切线,故应填3。

  例4.两圆的一条外公切线与连心线成30°的角,它们的圆心距是10cm,则外公切线长为_____________。

  解:如图所示,连结O1A、O2B,过点A作AC∥O1O2,则∠BAC=30°,AC=O1O2=10cm,

  

  在Rt△ABC中,

  

  ,

  故应填

  

  cm。

  点拨:公切线、两圆的半径之差(或和)和圆心距构成直角三角形,是解决这部分题的关键。

  例5.已知两圆外离,圆心距为25cm,两圆的周长分别为15

  

  和

  

  ,则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_____________。

  解:如图所示,过点O1作O1C∥AB,交O2B的延长线于C,

  

  ∵两圆的周长分别为15πcm和10πcm,

  ∴两圆的半径分别为

  

  ,

  ∴

  

  ,

  又∵

  

  ∴在Rt△O1CO2中,

  sin∠O2O1C=

  

  ,

  ∴∠O2O1C=30°,故应填30°。

  例6.如果两圆外切,切点为M,外公切线AB,切点为A、B,则∠AMB=_________。

  解:如图所示,过点M作两圆的公切线交AB于点C,

  

  ∵AB是两圆的公切线,

  ∴CA=CM=CB

  ∴∠CAM=∠CMA

  ∠CBM=∠CMB,

  ∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°

  ∴∠CMA+∠CMB=90°

  即∠AMB=90°,故填90°

  点拨:本题是一道典型题,可作为一般的结论记忆。
      
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