上海 回到官网首页下载APP

反证法知识点总结,高中数学反证法知识点总结

分享到:
      反证法知识点总结,高中数学反证法知识点总结, 高中同学面对高考有哪些办法,轻轻家教为大家搜集信息如下,希望对您有所帮助。

   高中数学反证法知识点总结(一)

  

  ​​​​​​​

    高中数学反证法知识点总结(二)

  一、选择题

  1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是(  )

  A.有一个解

  B.有两个解

  C.至少有三个解

  D.至少有两个解

  [答案] C

  [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.

  2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(  )

  A.a、b、c都是奇数

  B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

  C.a、b、c都是偶数

  D.a、b、c中至少有两个偶数

  [答案] B

  [解析] a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.

  3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是(  )

  A.假设三内角都不大于60°

  B.假设三内角都大于60°

  C.假设三内角至多有一个大于60°

  D.假设三内角至多有两个大于60°

  [答案] B

  [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.

  4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是(  )

  A.假设a,b,c都是偶数

  B.假设a、b,c都不是偶数

  C.假设a,b,c至多有一个偶数

  D.假设a,b,c至多有两个偶数

  [答案] B

  [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数.

  5.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是(  )

  A.a<b

  B.a≤b

  C.a=b

  D.a≥b

  [答案] B

  [解析] “a>b”的否定应为“a=b或a<b”,即a≤b.故应选B.

  6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为(  )

  A.一定是异面直线

  B.一定是相交直线

  C.不可能是平行直线

  D.不可能是相交直线

  [答案] C

  [解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.

  7.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中(  )

  A.都不大于-2

  B.都不小于-2

  C.至少有一个不大于-2

  D.至少有一个不小于-2

  [答案] C

  [解析] a+1b+c+1a+b+1c

  =a+1a+b+1b+c+1c

  ∵a,b,c∈(-∞,0),

  ∴a+1a=--a+-1a≤-2

  b+1b=--b+-1b≤-2

  c+1c=--c+-1c≤-2

  ∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

  ∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C.

  8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则(  )

  A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

  B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

  C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

  D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

  [答案] B

  [解析] 对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m

  则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥α);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一.

  9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是(  )

  A.甲

  B.乙

  C.丙

  D.丁

  [答案] C

  [解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C.

  10.已知x1>0,x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn+1,或者对任意正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为(  )

  A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1

  B.存在正整数n,使xn=xn+1

  C.存在正整数n,使xn≥xn+1且xn≤xn-1

  D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

  [答案] D

  [解析] 命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D.

  二、填空题

  11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.

  [答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形

  [解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”.

  12.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________.

  [答案] a,b都不能被5整除

  [解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.

  13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:

  ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;

  ②所以一个三角形中不能有两个直角;

  ③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.

  正确顺序的序号排列为____________.

  [答案] ③①②

  [解析] 由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.

  14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下:

  假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn,令p=p1p2…pn+1.

  显然,p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数,要么含有______________的质因数.这表明,除质数p1、p2、…、pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.

  [答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外

  [解析] 由反证法的步骤可得.

  三、解答题

  15.已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.

  求证:a>0,b>0,c>0.

  [证明] 用反证法:

  假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,

  不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,

  可得c>-(a+b),

  又a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)

  ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab

  即ab+bc+ca<-a2-ab-b2

  ∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,

  这与已知ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立.

  因此a>0,b>0,c>0成立.

  16.已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.

  [证明] 证法1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,

  同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.

  三式相加,得

  (1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,

  即32>32,矛盾.

  所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.

  证法2:假设三个式子同时大于14,即(1-a)b>14,(1-b)c>14,(1-c)a>14,三式相乘得

  (1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①

  因为0<a<1,所以0<a(1-a)≤1-a+a22=14.

  同理,0<b(1-b)≤14,0<c(1-c)≤14.

  所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②

  因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.

  17.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.

  (1)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

  (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

  [解析] (1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b.

  由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).

  又a+b≥0⇒b≥-a⇒f(b)≥f(-a).

  两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

  (2)逆命题:

  f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)⇒a+b≥0.

  下面用反证法证之.

  假设a+b<0,那么:

  a+b<0⇒a<-b⇒f(a)<f(-b)a+b<0⇒b<-a⇒f(b)<f(-a)

  ⇒f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).

  这与已知矛盾,故只有a+b≥0.逆命题得证.

  18.(2010•湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

  [解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为14,公比为23的等比数列,于是有bt>bs>br,则只可能有2bs=br+bt成立.

  ∴2•1423s-1=1423r-1+1423t-1.

  两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=2•2s-r3t-s,

  由于r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.

  故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.​​​​​​​

        轻轻家教与您分享反证法知识点总结,高中数学反证法知识点总结,感谢您的观看!如果还有其他问题可以拨打免费电话:4000-766-177!或者关注轻轻家教官方公众号:changingedu 名师为您在线答疑!还有更多学习资料、升学宝典等着你!
 
注:原文章转载于 ,如有问题请联系我们,邮箱songchunlin@changingedu.com

轻轻名师 为您而选

轻轻有着严苛的教师选聘制度,每个合作老师都经过严格的资质审核、笔试和面试。

查看更多好老师

选择城市

以上没有您的城市?可以点击选择其他城市

请验证手机号登录/注册
获取验证码
确认
收不到验证码?咨询轻轻客服 >>

轻轻助手

快速找个好老师