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超几何分布知识点总结,高中数学超几何分布知识点总结

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    高中数学超几何分布知识点总结(一)

  超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件,成功抽出指定种类的物件的次数(不归还)。称为超几何分布,是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

  产品抽样检查中经常遇到一类实际问题,假定在N件产品中有D件不合格品,即不合格率

  

  。

  在产品中随机抽n件做检查,发现k件不合格品的概率为

  

  ,k=0,1,2,...,min{n,M}。

  亦可写作

  

  (与上式不同的是D可为任意实数,而C表示的组合数D为非负整数)

  通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无放回抽样。数学上不难证明,N趋近无穷,

  

  =

  

  (二项分布) 因此,在实际应用时,只要N>=10n,就可用二项分布近似描述不合格品个数。

  也就是已经知道某个事件的发生概率,判断从中取出一个小样本,该事件以某一个机率出现的概率问题。

  应用

  例:在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

  解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

  其中N = 30. D = 10. n = 5.

  P(一等奖) = P(X=4) + P(X=5)

  由公式

  

  ,k=0,1,2,...得:

  

  

  P(一等奖) = 106/3393

    高中数学超几何分布知识点总结(二)

  1.一个袋中有9张标有1,2,3,„,9的票,从中依次取两张,则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率( )

  2.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽 取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率。

  3.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的 11

  概率是2,在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是3,求两次闭合都出现红灯的概率。

  4.市场供应的灯泡中,甲厂产品占有70%,乙厂产品占有30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率为80%。现从市场中任取一灯泡,假设A=“甲厂生产的产品”,A=“乙厂生产的产品”,B=“合格灯泡”,B=“不合格灯泡”,求:

  (1)P(B|A) ;(2)P(B|A) ;(3)P(B|A) ;(4)P(B|A).

  超几何分布及二项分布练习题

  1.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球,从中任意取出3个球.

  (Ⅰ)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率;

  (Ⅱ)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率;

  2.今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:

  (I)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;

  (II)若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

  

  3.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),

  [20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

  (Ⅰ)求直方图中x的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;

  (Ⅲ)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)

  4.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是

  35

  ,

  乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对 一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望

  (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

  5.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为

  12

  13

  ,乙每次投中的概率为

  ,每人分别进行三次投篮.

  (Ⅰ)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ; (Ⅱ)求乙至多投中2次的概率; (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进2次的概率.

  6.某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是:每位选手可以选择在A区射击3 次或选择在B区射击2次,在A区每射中一次得3分,射不中得0分; 在B区每射中一次

  得2分,射不中得0分. 已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是p(0p1). 14和

  (Ⅰ) 若选手甲在A区射击,求选手甲至少得3分的概率;

  (Ⅱ) 我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准,如果选手甲最终选择了在B区射击,求p的取值范围.

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