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点到直线的距离知识点总结,高中数学点到直线的距离知识点总结

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     高中数学点到直线的距离知识点总结(一)

  教学目标:

  (1)让学生理解点到直线距离公式的推导,掌握点到直线距离公式及其应用,会用点到直线距离求两平行线间的距离;

  (2)培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、转化(或化归)、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力;

  (3)引导学生用联系与转化的观点看问题,了解和感受探索问题的方式方法,在探索问题的过程中获得成功的体验.

    教学重点:点到直线距离公式及其应用.

    教学难点:发现点到直线距离公式的推导方法.

    教学方法:问题解决法、讨论法.

    教学工具:计算机多媒体、实物投影仪.

    教学过程:

    一、创设情景提出问题

  多媒体显示实际的例子:

  某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题.离它最近的只有一条线路通过,要完成这项任务,至少需要多长的电缆?

  经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为P(-1,5),离它最近线路其方程为2x+y+10=0.

  

  这个实际问题要解决,要转化成什么样的数学问题?学生得出就是求点到直线的距离.教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离.

    二、自主探索推导公式

  多媒体显示:已知点P(x0,y0),直线

  

  :Ax+By+C=0,求点P到直线

  

  的距离.怎样求点到直线距离呢?学生思考,做垂线找垂足Q,求线段PQ的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢?

  教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况,再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.学生解决.

  

  板书:

  

  

  

  如何求

  

  ?

  学生思考回答下列想法:

  思路一:过

  

  作

  

  于

  

  点,根据点斜式写出直线

  

  方程,由

  

  与

  

  联立方程组解得

  

  点坐标,然后利用两点距离公式求得.

  

  教师评价:此方法思路自然.

  教师继续提出问题:

  (1)求线段长度可以构造图形吗? (2)什么图形?如何构造?

  (3)第三个顶点在什么位置? (4)特殊情况与一般情况有联系吗?

  学生探讨得到:构造三角形,把线段放在直角三角形中.第三个顶点在什么位置?可能在直线

  

  与x轴的交点M或与y轴交点N,或过P点做x,y轴的平行线与直线

  

  的交点R、S.

  

  教师根据学生提出的方案,收集思路.

      高中数学点到直线的距离知识点总结(二)

  思路二:在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角(角与直线到直线角有关),用余弦值.

  思路三:在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角(角与直线倾斜角有关,但分情况),用余弦值.

  思路四:在直角△PRS中,求线段PR、PS、RS,利用等面积法(不涉及角和分情况),求得线段PQ长.

  学生分组练习,教师巡视,根据学生情况演示探索过程.

  (思路一)解:直线

  

  :

  

  ,即

  

  由

  

  ,

  

  

 

     

 

  

  

  

  (思路四)解:设

  

  ,

  

  ,

  

  ,

  

  

  ,

  

  ;

  

  ,

  

  

  

  由

  

  ,

  

  而

  

  

  

  

    说明:如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目.

  教师提问:①上式是由条件下

  

  得出,对

  

  成立吗?

  ②点P在直线

  

  上成立吗?

  ③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?

  由此推导出点P(x0,y0)到直线

  

  :Ax+By+C=0距离公式:

  

  适用于任意点、任意直线.

  教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗?(在前面学习的向量知识中,有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念.)能否用向量知识求解呢?

  思路五:已知直线

  

  的法向量

  

  ,则

  

  ,

  

  ,如何选取法向量?直线的方向向量

  

  ,则法向量为

  

  ,或

  

  ,或其它.由师生一起分析得出取

  

  =

  

  .

  

  教师板演:

  

  ,

  

  

  ,由于点Q在直线上,所以满足直线方程

  

  ,解得

  

  

  

  教师评析:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法.

    三、变式训练学会应用

  练习:

  1.解决课堂提出的实际问题.(学生口答)

  2.求点P0(-1,2)到下列直线的距离:

  ①3x=2②5y=3③2x+y=10④y=-4x+1

  练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式.

  练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式.

  教师强调:直线方程的一般形式.

  例题:

  3.求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.

  教师提问:如何求两平行线间的距离?距离如何转化?

  学生回答:选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.

  师生共同分析:点所在直线的任意性、点的任意性.几何画板演示点和直线变化,选取点和直线.学生自己练习,教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.

  解:在直线2x-7y-6=0上任取点P(x0,y0),则2 x0-7 y0-6=0,点P(x0,y0)到直线2x-7y+8=0的距离是

  

  .

  教师评述:本例题选取课本例题,但解法较多.除了选择直线上的点,还可以选取原点,求它到两条直线的距离,然后作和.或者选取直线外的点P,求它到两条直线的距离,然后作差.

  引申思考:

  

  与

  

  两平行线间距离公式.

 

    



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