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初中奥数题库三

一、基本概念和知识
 
1.质数与合数   初中奥数题库
 
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
 
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
 
要特别记住:1不是质数,也不是合数。
 
2.质因数与分解质因数   初中奥数题库
 
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
 
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
 
例:把30分解质因数。
 
解:30=2×3×5。
 
其中2、3、5叫做30的质因数。  初中奥数题库
 
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
 
二、例题
 
例1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.
 
解:∵210=2×3×5×7  初中奥数题库
 
∴可知这三个数是5、6和7。
 
例2 两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
 
解:把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
 
40=17+23=11+29=3+37。
 
∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。
 
∴所求的最大值是391。
 
答:这两个质数的最大乘积是391。  初中奥数题库
 
例3 自然数123456789是质数,还是合数?为什么?
 
解:123456789是合数。
 
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
 
例4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?
 
解:如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:1~9中有4个质数2、3、5、7)。
 
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
 
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。  初中奥数题库
 
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
 
解:∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,
 
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
 
(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。
 
这样14×15=210=5×6×7。
 
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
 
例6 有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
 
分析 先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于42560.40×40×40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
 
解:42560=26×5×7×19  初中奥数题库
 
=25×(5×7)×(19×2)
 
=32×35×38(合题意)
 
要求的三个自然数分别是32、35和38。
 
例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,
 
a×c=10.求a×b×c是多少?
 
解:∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。  初中奥数题库
 
(a×b)×(b×c)×(a×c)
 
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
 
∴a2×b2×c2=22×32×52
 
∴(a×b×c)2=(2×3×5)2
 
a×b×c=2×3×5=30
 
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
 
如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.
 
下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。
 
例如:把下列各完全平方数分解质因数:  初中奥数题库
 
9,36,144,1600,275625。
 
解:9=32 36=22×32 144=32×24
 
1600=26×52 275625=32×54×72  初中奥数题库
 
可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。
 
反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。
 
如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。

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