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初中奥数题库四

一、基本概念和知识
 
1.公约数和最大公约数   初中奥数题库
 
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
 
例如:12的约数有:1,2,3,4,6,12;  初中奥数题库
 
18的约数有:1,2,3,6,9,18。
 
12和18的公约数有:1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6。
 
2.公倍数和最小公倍数  初中奥数题库
 
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
 
例如:12的倍数有:12,24,36,48,60,72,84,…
 
18的倍数有:18,36,54,72,90,…
 
12和18的公倍数有:36,72,….其中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。
 
3.互质数
 
如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。
二、例题解析  初中奥数题库
例1:用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
分析:  ∵ 要求的数去除30、60、75都能整除,
∴ 要求的数是30、60、75的公约数。
又∵ 要求符合条件的最大的数,
∴ 就是求30、60、75的最大公约数。
解:(30,60,75)=15
所以,这个数最大是15。
例2:一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?  初中奥数题库
分析:  由题意可知,要求求的数是3、4、5的公倍数,且是最小公倍数。
解:∵ [3,4,5]=60,
∴ 用3、4、5除都能整除的最小的数是60。  初中奥数题库
例3:有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?
分析:  ∵ 要截成相等的小段,且无剩八,
∴ 每段长度必是120、180、300的公约数;
又∵ 每段要尽可能长,
∴ 要求的每段长度就是120、180、300的最大公约数。
解:∵ (120,180,300)=60,
∴ 每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60=2+3+5=10(段)初中奥数题库
答:每段最长60厘米,一共可以截成10段。
例4:加工某种机器零件,要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
分析:  要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数。要求三道工序“至少”要多少工人,要先求3、10和5的最小公倍数。
解:∵ [3,10,5]=30
∴ 各道工序均应加工30个零件。
30÷3=10(人)
30÷10=3(人)
30÷5=6(人)
答:第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,第三道工序至少要分配6人。
 
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