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初三数学圆 初中数学圆的定理

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  12不共线的三点确定一个圆

  经过一点可以作无数个圆

  经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上

  定理:过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆

  推论:三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心

  三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心

  1.3垂径定理

  圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心

  圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴

  定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧

  推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

  推论2:弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

  推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧

  1.4弧、弦和弦心距

  定理:在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

  二 圆与直线的位置关系

  2.1圆与直线的位置关系

  如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离

  如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点

  定理:经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

  定理:圆的切线垂直经过切点的半径

  推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

  推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

  如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点

  直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种

  2.2三角形的内切圆

  如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆

  定理:三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心

  三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心。以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆

  2.3切线长定理

  定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

  2.4圆的外切四边形

  定理: 圆的外切四边形的两组对边的和相等

  定理:如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆

  三 圆与圆的位置关系

  3.1两圆的位置关系

  在平面内,不重合的两圆。它们的位置关系,有以下五种情况:外离、外切、相交、内切、外切

  经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距

  定理:两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上

  (1)两圆外离d>R+r

  (2)两圆外切d=R+r

  (3)两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

  (4)两圆内切d=R-r(R>r)

  (5)两圆内含d<R-r(R>r)

  特殊情况,两圆是同心圆d=0

  3.2两圆的公切线

  定理:两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等

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