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合数 中环杯/小机灵杯难题:质数合数

  导语:中环杯/小机灵杯各年级难题——质数合数(五年级),下面是详细例题分析。

  阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一,其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠!

  1.质数与合数

  一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。

  常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、 73、79、83、89、97,共计25个;除了2其余的质数都是奇数;除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9。

  考点:①值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点;②除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9。

  2.质因数与分解质因数

  质因数:如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。

  互质数:公约数只有1的两个自然数,叫做互质数。

  分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

  例如:其中2、3、5叫做30的质因数。又如,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

  3.唯一分解定理

  任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即:其中为质数,为自然数,并且这种表示是唯一的。该式称为n的质因子分解式。

  例如:三个连续自然数的乘积是210,求这三个数。

  分析:∵210=2×3×5×7,∴可知这三个数是5、6和7。

  4.部分特殊数的分解

  5.判断一个数是否为质数的方法

  根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这 样的计算量很大,对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p就为质 数。

  例如:149很接近,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是质数。

  例1:甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说:“两个质数之和一定是质数”。乙说:“两个质数之和一定不是质数”。丙说:“两个质数之和不一定是质数”。他们当中,谁说得对?

  解析:因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对。

  例2.下面有3张卡片3、2、1,从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排起来,得到不同的一位数、两位数、三位数。把所得数中的质数写出来。

  解析:从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个。但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数。所以,两位数的质数只有13,23,31。

  因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数,都不是质数。故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个。

  [注]这里采用边列举、边排除的策略求解。在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32。再将三个合数12,21,32排除即可。

  例3.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?

  解析:100以内所有奇数之和是1+3+5+?+99=2500,从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和 7×(1+3+?+13)+11×(1+3+?+9)=618,最后再加上一个7×11=77(因为上面减去了两次77),所以最终答数为 2500-618+77=1959。

  [注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数7×11,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是 1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7×11的1倍,3倍……也更多些,这实质上是包含与排除的思路。

 

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