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分解质因数 关于分解质因数的例题讲析

  通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

  分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维。

  *例1  ABC×D=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数。求ABC代表什么数?(适于六年级程度)

  解:因为ABC×D=1673,ABC是一个三位数,所以可把1673分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数。

  1673=239×7

  答:ABC代表239。

  例2 一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米?(适于六年级程度)

  解:先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长。

  2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

  =(2×2×2×2×3)×(2×2×2×2×3)

  =48×48

  正方形的边长是48米。

  这块田地的周长是:

  48×4=192(米)

  答略。

  *例3 有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友?(适于六年级程度)

  解:3250-10=3240(个)

  把3240分解质因数:

  3240=23×34×5

  接近40的数有36、37、38、39

  这些数中36=22×32,所以只有36是3240的约数。

  23×34×5÷(22×32)

  =2×32×5

  =90

  答:这个幼儿园有90名小朋友。

  *例4 105的约数共有几个?(适于六年级程度)

  解:求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。

  因为,105=3×5×7,

  所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;

  含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个;

  含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

  所以,105的约数共有4+3+1=8个。

  答略。

  *例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少?(适于六年级程度)

  解:将这九个数分别分解质因数:

  15=3×5

  22=2×11

  30=2×3×5

  35=5×7

  39=3×13

  44=2×2×11

  52=2×2×13

  77=7×11

  91=7×13

  观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。

  由以上观察分析可得这三组数分别是:

  15、52和77;

  22、30和91;

  35、39和44。

  答略。

  *例6 有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁?(适于六年级程度)

  解:把5040分解质因数:

  5040=2×2×2×2×3×3×5×7

  由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是:

  7,2×2×2,3×3,2×5

  即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

  答略。

  *例7 在等式35×(    )×81×27=7×18×(    )×162的两个括号中,填上适当的最小的数。(适于六年级程度)

  解:将已知等式的两边分解质因数,得:

  5×37×7×(    )=22×36×7×(    )

  把上面的等式化简,得:

  15×(    )=4×(    )

  所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。

  15×(4)=4×(15)

  答略。

  *例8 把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?(适于六年级程度)

  解:把84分解质因数:

  84=2×2×3×7

  除了1和84外,84的约数有:

  2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42(组),84÷3=28(组),84÷4=21(组),84÷6=14(组),84÷7=12(组),84÷12=7(组),84÷14=6(组),84÷21=4(组),84÷28=3(组),84÷42=2(组)。

  因此每组2人分42组;每组3人分28组;每组4人分21组;每组6人分14组;每组7人分12组;每组12人分7组;每组14人分6组;每组21人分4组;每组28人分3组;每组42人分2组。一共有10种分法。

  答略。

  *例9 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。(适于六年级程度)

  解:要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同。因此,首先应把八个数分解质因数。

  14=2×7        143=11×13

  30=2×3×5    169=13×13

  33=3×11       4445=5×7×127

  75=3×5×5    4953=3×13×127

  在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个。

  在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个。

  按这个要求每一组四个数的积应是:

  2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

  因为,(2×7)×(3×5×5)×(11×13)×(3×13×127)=14×75×143×4953,根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是:30、33、169、4445。

  答略。

  *例10 一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。(适于五年级程度)

  解:设长方形的宽为x厘米,则长为(x+6)厘米。根据题意列方程,得:

  x(x+6)= 315

  x(x+6)=3×3×5×7

  =(3×5)×(3×7)

  x(x+6)=15×21

  x(x+6)=15×(15+6)

  x=15

  x+6=21

  答:这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米。

  *例11 已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少?(适于五年级程度)

  解:设这三个连续自然数分别是x-1,x,x+1,根据题意列方程,得:

  (x-1)×x×(x+1)

  =210

  =21×10

  =3×7×2×5

  =5×6×7

  比较方程两边的因数,得:x=6,x-1=5,x+1=7。

  答:这三个连续自然数分别是5、6、7。

  *例12 将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?(适于六年级程度)

  解:把1440分解质因数:

  1440= 12×12×10

  =2×2×3×2×2×3×2×5

  =(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5)

  =8×9×20

  如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:

  8×9=72,

  20×3+12=72

  正符合题中条件。

  答:甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

  *例13 一个星期天的早晨,母亲对孩子们说:“你们是否发现在你们中间,大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和?”儿子们齐声回答说:“是的,我们的年龄和您年龄的乘积,等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中,你能否确定母亲在多大时,才生下第二个儿子?(适于六年级程度)

  解:由题意可知,母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于:

  33×1000+32×10=27090

  把27090分解质因数:

  27090=43×7×5×32×2

  根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”,重新组合上面的质因式得:

  43×14×9×5

  这个质因式中14就是9与5之和。

  所以母亲43岁,大儿子14岁,二儿子9岁,小儿子5岁。

  43-9=34(岁)

  答:母亲在34岁时生下第二个儿子。

 

注:原文章转载于 ,如有问题请联系我们,邮箱songchunlin@changingedu.com

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