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正二十面体展开图 十二面体(奥数思维能力拓展)

  正十二面体是所谓“柏拉图立体”(Platonic solids)的5种正多面体之一。其他4种为正四面体、正方体、正八面体与正二十面体。

  这些立体的每个面都是正多边形,每个顶点与其他的顶点看起来都一样。正十二面体有12个面,每一面都是正五边形。曾有人利用12面,每面代表一个月,做成年历。



  以正十二面体为基础,还可以制作出外形非常吸引人的星状体。图2是正十二面体展开图的一半。在纸上或纸板上完成图形之后,只要把纸叠在一起,用圆见的针尖穿刺各个顶点,就可以复制此图形。

  (1)画出一个大圆。

  (2)由中心O画5条线至圆周,即OA、OB、OC、OD、OE,夹角都是72°。

  (3)将AB、BC、CD、DE与EA连线,形成正五边形。



  (4)画出ABCDE所有的对角线。这些对角线会在中心形成较小的五边形PQRST.这个五边形将是正十二面体中的一面。

  (5)现在画出PQRST的对角线(以虚线表示),并作其延长线,以形成其他小五边形的边。

  (6)用穿刺卡片纸的方法复制所需要的平面图。

  (7)在画好的平面图中加上画斜线的粘贴部分,如图2所示。

  (8)仔细剪下平面图,并在所有折线(例如PQ)处用笔或刀背划出刻痕,以便于折叠。

  (9)最后用速干胶粘合。

  在制作过程中要力求精确,否则最后的模型会无法嵌合在一起。

  在完成正十二面体之后,只要在上面加些尖角,就成了绝佳的圣诞节饰品(图3)。



  这些尖角呈五面金字塔形,金字塔的每一面都是与正十二面体展开图中APQ相等的等腰三角形。

  这个金字塔的展开图很简单:先画一个半圆,半径与形成正十二面体的五边形的对角线相等,将半圆分成5等分,夹角为36°,如图4所示。



  加上粘贴部分,并在折线处刻下痕印。总共需要12个尖角,因此在复制其他尖角之前最好先做一个,看看是否能与正十二面体接合得很好,然后再复制其他的尖角。

  完成模型之后,你应该可以发现相邻尖角的面都位于同一平面,从而形成五角星形。
 

注:原文章转载于 ,如有问题请联系我们,邮箱zixun@changingedu.com

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