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排列与组合知识点总结,高中数学排列与组合知识点总结

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        高中数学排列与组合知识点总结(一)

  排列组合公式/排列组合计算公式

  排列P------和顺序有关

  组合C-------不牵涉到顺序的问题

  排列分顺序,组合不分

  例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

  把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

    1.排列及计算公式

  从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.

  p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).

    2.组合及计算公式

  从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

  c(n,m)表示.

  c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

  3.其他排列与组合公式

  从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

  n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

  n!/(n1!*n2!*...*nk!).

  k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

  排列(Pnm(n为下标,m为上标))

  Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

  组合(Cnm(n为下标,m为上标))

  Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m

  公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

  从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);

  因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r

  举例:

  Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?

  A1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。

  上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积)

  Q2:有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?

  A2:213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。

  上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

  排列、组合的概念和公式典型例题分析

  例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

  解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.

  (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.

  点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.

  例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?

  解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:

  ∴符合题意的不同排法共有9种.

  点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.

  例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.

  (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?

  (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

  (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

  (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?

  分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.

  (1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).

  (2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.

  (3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.

  (4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.

  例4证明.

  证明左式

  右式.

  ∴等式成立.

  点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.

  例5化简.

  解法一原式

  解法二原式

  点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.

  例6解方程:(1);(2).

  解(1)原方程

  解得.

  (2)原方程可变为

  ∵,,

  ∴原方程可化为.

  即,解得

  第六章排列组合、二项式定理

  一、考纲要求

  1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

  2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.

  3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.

  二、知识结构

  三、知识点、能力点提示

  (一)加法原理乘法原理

  说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

     高中数学排列与组合知识点总结(二)

  一、排列与组合知识点总结

  1.排列

  (1)排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

  (2)排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A表示.

  (3)排列数公式

  A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

  (4)全排列数公式

  A=n(n-1)(n-2)…2·1=n!(叫做n的阶乘).

  2.组合

  (1)组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

  (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C表示.

  (3)组合数公式

  

  ①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中体现“有序”和“无序”.

  ②要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果.

  四字口诀

  求解排列组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.”

  二、例题解析

  1.8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(  ).

  A.360种 B.4 320种

  C.720种 D.2 160种

  解析 本题考查排列组合知识,可分步完成,先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能,将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上,最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上,故共有6AA=4 320种方式.

  答案 B

  2.以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有(  ).

  A.200个 B.190个 C.185个 D.180个

  解析 正五棱柱共有10个顶点,若每四个顶点构成一个四面体,共可构成C=210个四面体.其中四点在同一平面内的有三类:

  (1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个.

  (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个.

  (3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行

  (例如AB∥E1C1),这样共面的四点共有2C个.

  所以C-2C-C-2C=180(个),选D.

  答案 D

  3.(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(  ).

  A.36种 B.42种 C.48种 D.54种

  解析 因为丙必须排在最后一位,因此只需考虑其余五人在前五位上的排法.当甲排在第一位时,有A=24种排法,当甲排在第二位时,有A·A=18种排法,所以共有方案24+18=42(种),故选B.

  答案 B

1 2 3
3 1 2
2 3 1

  4.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有(  ).

  A.6种 B.12种

  C.24种 D.48种

  解析 只需要填写第一行第一列,其余即确定了.因此共有AA=12(种).

  答案 B

  5.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答).

  解析 可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示,要求是甲在乙前,乙在丙前,并且丙丁相邻丙在丁前,可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列,可先排a、b,再排甲、乙、丙丁共20种排法,也可先排甲、乙、丙丁,再排a、b,20种排法.

  答案 20

  三、复习指导

  复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想,掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法,如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等.

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