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椭圆的参数方程知识点总结,高中数学椭圆的参数方程知识点总结

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    高中数学椭圆的参数方程知识点总结(一)

   椭圆方程式知识点总结

1. 椭圆方程的第一定义:

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

ii. 中心在原点,焦点在轴上:

②一般方程:.③椭圆的标准参数方程:

的参数方程为

(一象限应是属于

).

⑵①顶点:或.②轴:对称轴:x轴,轴;长轴长,短轴长.③焦点:或.④焦距:

.⑤准线:

⑥离心率:

⑦焦点半径:

i. 设为椭圆

上的一点,为左、右焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设为椭圆

上的一点,为上、下焦点,则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:

归结起来为“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得方程的轨迹为椭圆.

⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆

的离心率是

,方程

是大于0的参数,的离心率也是

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆:

上的点.为焦点,若,则的面积为

(用余弦定理与可得). 若是双曲线,则面积为

.

     高中数学椭圆的参数方程知识点总结(二)

椭圆

的参数方程是

(α是参数,

)。

特别地,以点(

)为圆心,半径是r的椭圆的参数方程是

(α是参数,r>0)。下面就应用做一些归纳。

1.参数方程在求最值上的应用

例1求椭圆

的内接矩形的面积及周长的最大值。

分析:此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。

解:如图,设椭圆

的内接矩形在第一象限的顶点是A(

)(

),矩形的面积和周长分别是S、L。

当且仅当

时,

,此时α存在。

点评:利用参数方程后,再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。

例2设点P(x,y)在椭圆

,试求点P到直线

的距离d的最大值和最小值。

分析:此题可以设点P(x,y),然后代入椭圆方程

(1),然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。

解:点P(x,y)在椭圆

上,设点P(

)(α是参数且

),

时,距离d有最小值0,此时椭圆

与直线

相切;当

时,距离d有最大值2。

点评:在求解最值问题时,尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时,我们可以考虑利用参数方程降低难度。

2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用

例3椭圆

与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P,使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。

分析:如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开,与离心率没有明显的联系,但用参数方程就非常容易。

解:设椭圆

上的点P的坐标是(

)(α≠0且α≠π),A(a,0)。

。而OP⊥AP,

于是

,整理得

解得

(舍去),或

因为

,所以

。可转化为

,解得

,于是

。故离心率e的取值范围是

点评:有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。

       轻轻家教与您分享椭圆的参数方程知识点总结,高中数学椭圆的参数方程知识点总结,感谢您的观看!如果还有其他问题可以拨打免费电话:4000-766-177!或者关注轻轻家教官方公众号:changingedu 名师为您在线答疑!还有更多学习资料、升学宝典等着你!

 

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