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直线的倾斜角与斜率知识点总结,高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结

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     高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结(一)

  直线的倾斜角与斜率

    一、倾斜角和斜率

  1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

  2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

  3、直线的斜率:

  一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

  ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

  ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

  由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

  4、 直线的斜率公式:

  给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:

  斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

    二、两条直线的平行与垂直

  1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

  注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

  2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,

     高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结(二)

  1.(2014•西安高一检测)直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为(  )

  A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°

  【解析】选B.直线l的斜率为k= =-1,所以直线的倾斜角为钝角135°.

  2.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则(  )

  A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°

  C.0°<α≤135°D.0°<α<135°

  【解析】选D.直线l与x轴相交,可知α≠0°,

  又α与α+45°都是倾斜角,从而有

  得0°<α<135°.

  3.(2014•上饶高一检测)直线l的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍,则l的斜率为(  )

  A.1B. C. D.-

  【解析】选B.因为tanα= ,0°≤α<180°,所以α=30°,

  故2α=60°,所以k=tan60°= .故选B.

  4.(2014•新余高一检测)若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线,则x=(  )

  A.1B.-1C.0D.7

  【解析】选B.利用任意两点的斜率相等,kAB=- ,kAC= ,令 =- 得x=-1.

  【变式训练】已知三点A(1-a,-5),B(a,2a),C(0,-a)共线,则a=________.

  【解题指南】当三点共线时,若直线斜率存在,则kAB=kBC,若斜率不存在,则三点横坐标相同.

  【解析】①当过A,B,C三点的直线斜率不存在时,

  即1-a=a=0,无解.

  ②当过A,B,C三点的直线斜率存在时,

  则kAB= =kBC= ,

  即 =3,解得a=2.

  综上,A,B,C三点共线,a的值为2.

  答案:2

  【拓展延伸】揭秘三点共线问题

  斜率是用来反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的直线方向不变,即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正是可利用斜率证明三点共线的原因,但是利用此方法要特别注意直线的斜率是否存在,如本题,若不考虑斜率是否存在,则解题步骤上出现了严重的遗漏,推理也不能算严谨,有时候还可能出现漏解现象.

  5.(2013•济南高一检测)直线l过定点C(0,-1),斜率为a且与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取值范围是(  )

  A.[-1,2]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)

  C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

  【解析】选B.直线l过定点C(0,-1).当直线l处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足a≥ 或a≤ ,即a≥2或a≤-1.

  6.(2014•济源高一检测)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围是(  )

  A.[1,+∞)B.(-∞,+∞)

  C.(-∞,1)D.(-∞,1]

  【解析】选D.由于直线l经过点A(2,1),B(1,m2)(m∈R),根据两点的斜率公式可知:kAB= =1-m2,

  因为m∈R,m2≥0,所以-m2≤0,即1-m2≤1,则有kAB≤1,

  所以直线l的斜率的取值范围是(-∞,1].

  二、填空题(每小题4分,共12分)

  7.(2014•扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.

  【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角,所以k=a2+2a<0,-2<a<0.

  答案:(-2,0)

  8.(2014•铜川高一检测)若直线的斜率为k,并且k=a2-1(a∈R),则直线的倾斜角α的范围是________.

  【解析】因为a2-1≥-1,即k≥-1.所以l的倾斜角α的范围是0°≤α<90°或135°≤α<180°.

  答案:0°≤α<90°或135°≤α<180°

  9.若三点A(3,3),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + =________.

  【解析】由于点A,B,C共线,则kAB=kAC,

  所以 = .所以ab=3a+3b.即 + = .

  答案:

  三、解答题(每小题10分,共20分)

  10.(2014•南昌高一检测)过两点M(a2+2,a2-3),B(3-a-a2,2a)的直线l的倾斜角为45°,求a的值.

  【解析】由题意得:直线l的斜率k=tan45°=1,

  故由斜率公式得k= =1,

  解得a=-1(舍去)或a=-2.

  【变式训练】已知直线l的倾斜角为30°,且过点P(1,2)和Q(x,0),求该直线的斜率和x的值.

  【解析】该直线的斜率

  k=tan30°= .

  又l过点P(1,2)和Q(x,0),

  则 = ,解得x=1-2 .

  11.从M(2,2)射出的一条光线,经x轴反射后过点N(-8,3),求反射点P的坐标.

  【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系,找到直线MP与NP的斜率间的关系即可.

  【解析】如图.

  设P(x,0),因为入射角等于反射角,

  所以kMP=-kPN,即 = ,

  解得x=-2,

  所以反射点P(-2,0).

  一、选择题(每小题4分,共16分)

  1.关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是(  )

  A.所有的直线都有倾斜角和斜率

  B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率

  C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在

  D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角

  【解析】选B.当直线的倾斜角为直角时,不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角,故选B.

  2.(2014•商洛高一检测)已知直线l过A(-2,(t+ )2),B(2,(t- )2)两点,则此直线的斜率和倾斜角分别为(  )

  A.1,135°B.-1,-45°

  C.-1,135°D.1,45°

  【解析】选C.因为k= =-1,所以直线的倾斜角是钝角,又tan45°=1,所以直线的倾斜角为180°-45°=135°.

  3.(2014•西安高一检测)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的范围是(  )

  A.0°≤α≤45°B.90°<α<180°

  C.45°≤α<90°D.90°<α≤135°

  【解析】选C.直线l的斜率k=tanα= =m2+1≥1,所以45°≤α<90°.

  【变式训练】若ab<0,则过点P(0,- )与Q( ,0)的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________.

  【解析】因为kPQ= = ,又因为ab<0,所以kPQ<0.所以α为钝角,即90°<α<

  180°.

  答案:90°<α<180°

  4.将直线l向右平移4个单位,再向下平移5个单位后仍回到原来的位置,则此直线的斜率为(  )

  A. B. C.- D.-

  【解析】选C.设点P(a,b)是直线l上的任意一点,当直线l按题中要求平移后,点P也做同样的平移,平移后的坐标为(a+4,b-5),由题意知这两点都在直线l上,所以直线l的斜率k= =- .

  二、填空题(每小题5分,共10分)

  5.(2014•南昌高一检测)若直线l与直线y=1,x=7分别交于P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为__________.

  【解析】设P(xP,yP),由题意及中点坐标公式得xP+7=2,解得xP=-5,即P(-5,1),所以k=- .

  答案:-

  【变式训练】三点A(0,2),B(2,5),C(3,b)能作为三角形的三个顶点,则实数b满足的条件是________.

  【解析】由题意得kAB≠kAC,则 ≠ ,整理得b≠ .

  答案:b≠

  6.已知直线l的倾斜角为α=45°,点P1(2,m),P2(n,5),P3(3,1)在直线l上,则m=________,n=________.

  【解题指南】条件中直线的倾斜角已知,可以考虑倾斜角与斜率的关系构造方程求解.

  【解析】因为α=45°,所以直线的斜率k=1,

  又点P1(2,m),P2(n,5),P3(3,1)在直线l上,

  所以 = =1,即 = =1,

  解得m=0,n=7.

  答案:0 7

  三、解答题(每小题12分,共24分)

  7.(2014•临沂高一检测)a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角?钝角?直角?

  【解题指南】根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角,则k>0,若为钝角,则k<0,若为直角,则斜率不存在.

  【解析】当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kAB>0,根据斜率公式得kAB= = >0,

  所以a>1;

  同理,当倾斜角为钝角时,kAB<0,即 <0,

  所以a<1.

  当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等,即2a=2,所以a=1.

  8.设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率k及倾斜角α的范围.

  【解题指南】根据斜率公式求出斜率的范围,然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围,注意斜率公式应用的前提条件.

  【解析】(1)当m=7时,直线l与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为90°.

  (2)当m≠7时,k= = .

  当m>7时, >0,即k>0,0°<α<90°;

  当m<7时, <0,即k<0,90°<α<180°.

  【变式训练】已知A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,试结合斜率公式k= (x2≠x1).求 的取值范围.

  【解析】设k= ,则k可以看成点P(a,b)与定点Q(1,1)连线的斜率.如图,当P在线段AB上由B点运动到A点时,PQ的斜率由kBQ增大到kAQ,

  因为kBQ= =1,kAQ= =3,

  所以1≤k≤3,即 的取值范围是[1,3].

  【拓展延伸】巧用斜率公式的几何意义解题

  由于斜率公式k= (x2≠x1)具有把几何问题代数化的功能,因此在解答过程中,可首先借助斜率公式的几何意义画出草图,然后利用斜率与倾斜角的关系,找出其边界.求解过程充分体现了数与形的完美结合,渗透了解析几何的思想.

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注:原文章转载于 ,如有问题请联系我们,邮箱songchunlin@changingedu.com

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