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比较法知识点总结,高中数学比较法知识点总结

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    高中数学比较法知识点总结(一)

  比较法证明不等式

  1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

  (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

  (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

  2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

  a>b>0,求证:a^ab^b>(ab)^a+b/2

  因a^a*b^b=(ab)^ab,

  又ab>a+b/2

  故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

  已知:a,b,c属于(-2,2).求证:ab+bc+ca>-4.

  用极限法取2或-2,结果大于等于-4,因属于(-2,2)不包含2和-2就不等于-4,结果就只能大于-4

  下面这个方法算不算“比较法”啊?

  作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4

  构造函数 M = f(c) = (a+b)c + ab+4

  这是关于c 的一次函数(或常函数),

  在 cOM 坐标系内,其图象是直线,

  而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因为 a<2, b<2)

  f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因为 a>-2, b>-2)

  所以 函数 f(c) 在 c∈(-2, 2) 上总有 f(c) > 0

  即 M > 0

  即 ab+bc+ca+4 > 0

  所以 ab+bc+ca > -4

  设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

  (x-1)²≥0

  (2y-1)²≥0

  x²-2x+1≥0

  4y²-4x+1≥0

  x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

  x²+4y²+2≥2x+4x

  除了比较法还有:

  求出中间函数的值域:

  y=(x^2-1)/(x^2+1)

  =1-2/(x^2+1)

  x为R,

  y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2,没有最大值,趋于无穷校

  所以有:

  -1<=y=1-2/(x^2+1)<1

  原题得到证明

  比较法:

  ①作差比较,要点是:作差——变形——判断。

  这种比较法是普遍适用的,是无条件的。

  根据a-b>0 a>b,欲证a>b只需证a-b>0;

  ②作商比较,要点是:作商——变形——判断。

  这种比较法是有条件的,这个条件就是“除式”的符号一定。

  当b>0时,a>b >1。

  比较法是证明不等式的基本方法,也是最重要的方法,有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

  综合法是从已知数量与已知数量的关系入手,逐步分析已知数量与未知数量的关系,一直到求出未知数量的解题方法。

     高中数学比较法知识点总结(二)

  分析法证明不等式

  已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|<=√2

  【1】

  ∵a⊥b

  ∴ab=0

  又由题设条件可知,

  a+b≠0(向量)

  ∴|a+b|≠0.

  具体的,即是|a+b|>0

  【2】

  显然,由|a+b|>0可知

  原不等式等价于不等式:

  |a|+|b|≤(√2)|a+b|

  该不等式等价于不等式:

  (|a|+|b|)²≤[(√2)|a+b|]².

  整理即是:

  a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

  【∵|a|²=a². |b|²=b². |a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

  又ab=0,故接下来就有】】

  a²+b²≤2a²+2b²

  0≤a²+b²

  ∵a,b是非零向量,

  ∴|a|≠0,且|b|≠0.

  ∴a²+b²>0.

  推上去,可知原不等式成立。

  作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法,两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

  注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以PDF格式阅读原文。”

  就是在其两边同时除以根号a+根号b,就可以了。

  下面我给你介绍一些解不等式的方法

  首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式,柯西不等式,还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

  然后要学会用一些函数的方法,这是解不等式最常见的方法。分析法,综合法,做减法,假设法等等这些事容易的。

  在考试的时候方法最多的是用函数的方法做,关键是找到函数的定义域,还有求出它的导函数。找到他的最小值,最大值。

  在结合要求的等等

  一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

  还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

  这种方法最好,三部曲。你最好把它掌握好。

  若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

  解:ab-3=a+b>=2根号ab

  令T=根号ab,

  T^2-2T-3>=0

  T>=3 or T<=-1(舍)

  即,根号ab>=3,

  故,ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)。

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