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初三数学知识点整理第三章:二次函数

初三数学知识点整理第三章:二次函数,轻轻家教为大家整理相关信息如下,希望对您有所帮助。

        二次函数

  I.定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  II.二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

  III.二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图像,

  可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  IV.抛物线的性质

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

  x = -b/2a。

  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为

  P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

  V.二次函数与一元二次方程

  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,

  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

  即ax^2;+bx+c=0

  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

  答案补充

  画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。

  二次函数解析式的几种形式

  (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).

  (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).

  (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.

  说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点

  答案补充

  如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k

  定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  x是自变量,y是x的函数

  二次函数的三种表达式

  ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k

  ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)

  以上3种形式可进行如下转化:

  ①一般式和顶点式的关系

  对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即

  h=-b/2a=(x1+x2)/2

  k=(4ac-b^2)/4a

  ②一般式和交点式的关系

  x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)  

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