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小学奥数数论问题:完全平方数的性质及推论

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  小学奥数数论问题:完全平方数的性质及推论


  一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。


  例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…   观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:


  性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。


  性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。


  证明 奇数必为下列五种形式之一:


  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9


  分别平方后,得


  (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1


  (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9


  (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5


  (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9


  (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1


  综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。


  性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。


  证明 已知m^2=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。


  则   10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6


  或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6


  即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1


  或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3


  ∴ k为奇数。


  推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。


  推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。


  性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。


  这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1   (2k)=4


  性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。


  在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。


  性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。


  因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得


  (3m)=9=3k


  (3m+1)=9+6m+1=3k+1


  (3m+2)=9+12m+4=3k+1


  同理可以得到:


  性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。


  性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。


  除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的 各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加, 如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:   一个数的数字和等于这个数被9除的余数。


  下面以四位数为例来说明这个命题。


  设四位数为,则


  = 1000a+100b+10c+d


  = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)


  = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)


  显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。


  对於n位数,也可以仿此法予以证明。


  关於完全平方数的数字和有下面的性质:


  性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。


  证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而


  (9k)=9(9)+0


  (9k±1)=9(9±2k)+1


  (9k±2)=9(9±4k)+4


  (9k±3)=9(9±6k)+9


  (9k±4)=9(9±8k+1)+7


  除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:


  性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。


  性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。


  证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。


  性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若   n^2 < k^2 < (n+1)^2   则k一定不是整数。


  性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

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